6612. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AD
, BE
и CF
, пересекающиеся в точке I
. Серединный перпендикуляр к отрезку AD
пересекает прямые BE
и CF
в точках M
и N
. Докажите, что точки A
, I
, M
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть K
— середина отрезка AD
. Обозначим углы треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда
\angle MNI=\angle MNC=\angle KNI=90^{\circ}-\angle KIN=90^{\circ}-(\angle ACI+\angle CAI)=
=90^{\circ}-\left(\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\gamma-\alpha)=\frac{\beta}{2}=\angle MBC.
Биссектриса угла ABD
треугольника ABD
и серединный перпендикуляр к его стороне AD
пересекаются в точке M
, значит, точка M
лежит на описанной окружности этого треугольника (M
— середина дуги AD
, не содержащей точки B
), поэтому
\angle MAI=\angle MAD=\angle MBD=\angle MBC=\frac{\beta}{2}=\angle MNI,
значит, из точек A
и N
, лежащих по одну сторону от прямой MI
, отрезок MI
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки A
, I
, M
и N
лежат на одной окружности.