6615. Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Может ли его гипотенуза увеличиться более, чем на \sqrt{2}
?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть x
и y
— катеты треугольника до увеличения. Тогда его гипотенуза равна \sqrt{x^{2}+y^{2}}
, а после увеличения катетов стала равна \sqrt{(x+1)^{2}+(y+1)^{2}}
.
Предположим, что гипотенуза увеличилась более, чем на \sqrt{2}
. Тогда
\sqrt{(x+1)^{2}+(y+1)^{2}}\gt\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{2}~\Leftrightarrow~(x+1)^{2}+(y+1)^{2}\gt x^{2}+y^{2}+2+2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2x+2y\gt2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}~\Leftrightarrow~2xy\gt x^{2}+y^{2}~\Leftrightarrow~0\gt(x-y)^{2},
что невозможно. Следовательно, гипотенуза не может увеличиться более, чем на \sqrt{2}
.
Автор: Волчёнков С. Г.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2009-10, XXXVI, региональный этап, 11 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2010, № 2, с. 52