6620. Внутри треугольника ABC
взята точка K
, лежащая на биссектрисе угла BAC
. Прямая CK
вторично пересекает окружность \omega
, описанную около треугольника ABC
, в точке M
. Окружность \Omega
проходит через точку A
, касается прямой CM
в точке K
и пересекает вторично отрезок AB
в точке P
, а окружность \omega
— в точке Q
. Докажите, что точки P
, Q
и M
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть окружность \Omega
вторично пересекает AC
в точке R
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle MKP=\angle PAK=\angle RAK=\angle RPK,
значит, PR\parallel CM
.
Кроме того,
\angle QMC=\angle QAC=\angle QAR=\angle QPR.
Пусть прямые PQ
и CM
пересекаются в точке M'
. Тогда
\angle QM'C=\angle QPR=\angle QMC,
значит, точка M'
совпадает с M
. Следовательно, точки P
, Q
и M
лежат на одной прямой.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2009-10, XXXVI, заключительный этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 2010, № 5, с. 24, М2192
Источник: Задачник «Кванта». — М2192