6629. В четырёхугольнике ABCD
диагонали пересекаются в точке M
, \angle AMD=120^{\circ}
, AM=MD
. Пусть E
— произвольная точка на стороне BC
, K
и P
— такие точки на сторонах AB
и VD
соответственно, что прямая KE
параллельна диагонали AC
, а прямая PE
параллельна диагонали BD
. Докажите, что центр описанной около треугольника KEP
окружности расположен на стороне AD
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку K
параллельную BD
, пересекает сторону AD
в точке L
. Тогда
AL:LD=AK:KB=BE:EC=CP:PD,
поэтому PL\parallel AC
. Значит, KEPL
— параллелограмм. Следовательно,
\angle KEP=\angle AMD=120^{\circ}.
Пусть описанная окружность треугольника KLP
вторично пересекает сторону BD
в точке Q
(если эта окружность касается прямой AD
, то Q
— точка касания). Если точка Q
лежит между A
и L
, то
\angle KPQ=\angle KLQ=\angle MDA=30^{\circ},
\angle PKQ=180^{\circ}-\angle PLQ=\angle PLD=\angle MAD=30^{\circ}.
Аналогично для случая, когда точка Q
лежит между L
и D
.
Таким образом, QK=QP
. Проведём окружность с центром Q
и радиусом QK=QP
. Поскольку \angle KEP=\angle KQP=120^{\circ}
, точка E
лежит на этой окружности. Отсюда следует утверждение задачи.