6632. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
во внешнюю сторону построены квадраты BCDE
, ACFG
и BAHK
. Пусть FCDQ
и EBKP
— параллелограммы. Докажите, что APQ
— равнобедренный прямоугольный треугольник.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Поскольку
BK=AB,~PK=BE=BC~
\angle BKP=180^{\circ}-\angle KBE=180^{\circ}-(360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\angle ABC)=\angle ABC=\beta,
треугольник BKP
равен треугольнику ABC
по двум сторонам и углу между ними. Аналогично докажем, что треугольник CQF
равен треугольнику ABC
. Значит, PB=AC
и CQ=AB
.
Кроме того,
\angle ABP=360^{\circ}-90^{\circ}-\angle ABC-\angle PBE=270^{\circ}-\beta-\gamma,
\angle ACQ=360^{\circ}-90^{\circ}-\angle ACB-\angle DCQ=270^{\circ}-\gamma-\beta=\angle ABP,
значит, треугольники ABP
и QCA
также равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AP=AQ
.
Осталось доказать, что \angle PAQ=90^{\circ}
. Действительно,
\angle PAQ=\angle PAB+\angle QAC+\angle BAC=\angle PAB+\angle APB+\angle BAC=
=180^{\circ}-\angle ABP+\alpha=180^{\circ}-(360^{\circ}-90^{\circ}-\beta-\gamma)+\alpha=
=\alpha+\beta+\gamma-90^{\circ}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.