6633. Пусть ABCD
— прямоугольник, E
— точка на BC
, F
— на CD
, E_{1}
— середина AE
, F_{1}
— середина AF
. Докажите, что если треугольник AEF
правильный, то и треугольники DE_{1}C
и BF_{1}C
также правильные.
Решение. Медиана FE_{1}
равностороннего треугольника AEF
является высотой. Отрезок EF
виден из точек E_{1}
и C
под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром EF
. Вписанные в эту окружность углы E_{1}CF
и E_{1}EF
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle E_{1}CF=\angle E_{1}EF=\angle AEF=60^{\circ}.
Аналогично, точки E_{1}
и D
лежат на окружности с диаметром AF
, поэтому
\angle E_{1}DC=\angle E_{1}DF=\angle E_{1}AF=\angle EAF=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник DE_{1}C
равносторонний.
Аналогично для треугольника BF_{1}C
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 588, с. 73