6634. На катетах AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
во внешнюю сторону построены квадраты ACKL
и BCMN
. Докажите, что четырёхугольник, ограниченный катетами и прямыми LB
и NA
, равновелик треугольнику, образованному прямыми LB
, NA
и гипотенузой AB
.
Решение. Пусть P
— точка пересечения прямых AC
и LB
, Q
— точка пересечения прямых BC
и AN
, R
— точка пересечения прямых BL
и AN
.
Заметим, что треугольник ARP
— общая часть треугольников ACQ
и APB
, поэтому четырёхугольник CPRQ
равновелик треугольнику ARB
, если равновелики треугольники ACQ
и APB
.
Обозначим BN=BC=a
и AL=AC=b
. Треугольники BPC
и LPA
подобны с коэффициентом \frac{BC}{LA}=\frac{a}{b}
, поэтому \frac{CP}{PA}=\frac{a}{b}
. Тогда \frac{CP}{AC}=\frac{a}{a+b}
. Значит,
CP=AC\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.
Аналогично CQ=\frac{ab}{a+b}
. Следовательно,
S_{\triangle ACQ}=\frac{1}{2}AC\cdot CQ=\frac{1}{2}b\cdot\frac{ab}{a+b}=\frac{ab^{2}}{2(a+b)},
S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}BC\cdot CP=\frac{1}{2}a\cdot\frac{ab}{a+b}=\frac{a^{2}b}{2(a+b)},
S_{\triangle APB}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}ab-\frac{a^{2}b}{2(a+b)}=
=\frac{ab}{2(a+b)}\cdot(a+b-a)=\frac{a^{2}b}{2(a+b)}=S_{\triangle ACQ}.
Отсюда следует утверждение задачи.