6636. (Из сингапурских олимпиад.) В треугольнике ABC
со сторонами AB=4
, AC=6
проведена биссектриса угла A
. Из вершины B
опущен на эту биссектрису перпендикуляр BH
. Найдите MH
, где M
— середина BC
.
Ответ. 1.
Решение. Пусть D
— точка пересечения прямых BH
и AC
. Тогда AH
— биссектриса и высота треугольника ABD
. Значит, этот треугольник равнобедренный, поэтому AD=BD
и BH=HD
. Тогда MH
— средняя линия в треугольнике BCD
. Следовательно,
MH=\frac{1}{2}CD=\frac{AC-AB}{2}=1.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2011, VII, заочный тур, № 2, 8 класс