6637. В треугольнике ABC
угол при вершине A
равен 60^{\circ}
. Серединный перпендикуляр к отрезку AB
пересекает прямую AC
в точке C_{1}
. Серединный перпендикуляр к отрезку AC
пересекает прямую AB
в точке B_{1}
. Докажите, что прямая B_{1}C_{1}
касается окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Пусть B_{0}
и C_{0}
— середины сторон AC
и AB
соответственно. Поскольку AB_{0}B_{1}
и AC_{0}C_{1}
— прямоугольные треугольники с углом 60^{\circ}
при общей вершине A
, то
AB_{1}=2AB_{0}=AC,~AC_{1}=2AC_{0}=AB.
Следовательно, прямая B_{1}C_{1}
симметрична прямой BC
относительно биссектрисы угла A
. Поскольку эта биссектриса проходит через центр вписанной окружности, а прямая BC
касается этой окружности, то и прямая B_{1}C_{1}
также касается вписанной окружности.
Автор: Швецов Д. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2011, VII, заочный тур, № 3, 8 класс