6638. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA'
, BB'
, CC'
. Известно, что в треугольнике A'B'C'
эти прямые также являются биссектрисами. Верно ли, что треугольник ABC
равносторонний?
Ответ. Верно.
Решение. Из условия следует, что в четырёхугольнике A'C'B'C
диагональ CC'
является биссектрисой углов C
и C'
, поэтому треугольники CB'C'
и CA'C'
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, CA'=CB'
и A'C'=B'C'
. Аналогично, AB'=AC'
, BA'=BC'
. Кроме того, \angle CB'C'=\angle CA'C'
, поэтому
\angle AB'C'=180^{\circ}-\angle CB'C'=180^{\circ}CA'C'=\angle BA'C'.
Углы при основании A'C'
равнобедренного треугольника A'BC'
соответственно равны углам при основании B'C'
равнобедренного треугольника B'AC'
, значит, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда BC'=AC'
, т. е. C'
— середина стороны AB
. Аналогично A'
и B'
— середины сторон BC
и AC
соответственно. Значит,
AC=2AB'=2AC'=AB.
Аналогично AC=BC
. Следовательно, BC=AB
, т. е. треугольник ABC
равносторонний.