6640. Даны две единичные окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
, пересекающиеся в точках A
и B
. На окружности \omega_{1}
взяли произвольную точку M
, а на окружности \omega_{2}
— точку N
. Через точки M
и N
провели ещё две единичные окружности \omega_{3}
и \omega_{4}
. Обозначим повторное пересечение \omega_{1}
и \omega_{3}
через C
, повторное пересечение окружностей \omega_{2}
и \omega_{4}
— через D
. Докажите, что ACBD
— параллелограмм.
Решение. Пусть O_{i}
— центр окружности \omega_{i}
. Из условия следует, что O_{1}CO_{3}M
, O_{3}MO_{4}N
, O_{4}NO_{2}D
, O_{1}AO_{2}B
— ромбы со сторонами 1. Значит,
\overrightarrow{O_{1}C}=\overrightarrow{MO_{3}}=\overrightarrow{O_{4}N}=\overrightarrow{DO_{2}}~~\mbox{и}~~\overrightarrow{O_{1}A}=\overrightarrow{BO_{2}}.
Следовательно,
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{O_{1}C}-\overrightarrow{O_{1}A}=\overrightarrow{DO_{2}}-\overrightarrow{BO_{2}}=\overrightarrow{DB}.
Значит, AC=DB
и AC\parallel DB
. Следовательно, ACBD
— параллелограмм.