6641. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
выбрали точки P
и Q
так, что PB=QC
. Докажите, что PQ\lt BC
.
Решение. Пусть T
— четвёртая вершина параллелограмма CBPT
, а D
— точка пересечения прямых PT
и AC
. Тогда PT=BC
, CT=BP=CQ
. Кроме того, PD\lt BC=PT
, поэтому точки P
и T
расположены по разные стороны от прямой AC
.
Если при этом точка D
лежит на отрезке CQ
(рис. 1), то
\angle PQT\gt\angle TQC=\angle QTC\gt\angle QTP.
Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, следовательно, BC=PT\gt PQ
.
Если же точка Q
лежит на отрезке CD
(рис. 2), то угол DQT
тупой как смежный с углом TQC
при основании равнобедренного треугольника CQT
. Значит, угол PQT
также тупой. Следовательно, BC=PT\gt PQ
.