6644. В трапеции ABCD
диагонали пересекаются в точке O
. На боковой стороне CD
выбрана точка M
, а на основаниях BC
и AD
— точки P
и Q
так, что отрезки MP
и MQ
параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая PQ
проходит через точку O
.
Решение. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AQ}{QD}=\frac{CM}{MD}=\frac{CP}{PB}.
Значит,
\frac{AQ}{CP}=\frac{AD}{BC}=\frac{AO}{CO}.
Значит, треугольники AOQ
и COP
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle AOQ=\angle COP
. Тогда точки P
, O
и Q
лежит на одной прямой, следовательно, прямая PQ
проходит через точку O
.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2011, VII, заочный тур, № 10, 8-9 классы