6664. Впишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.
Решение. Вписать треугольник в полукруг можно двумя способами: либо две вершины треугольника лежат на на дуге, а третья на диаметре полукруга (рис. 1), либо, наоборот, две вершины на диаметре, а третья на дуге (рис. 2).
Пусть вершины A
и B
правильного треугольника ABC
лежат на дуге. Тогда серединный перпендикуляр к хорде AB
проходит через центр полукруга. Следовательно, вершина C
совпадает с центром полукруга. В этом случае сторона треугольника равна радиусу R
полукруга, а периметр равен 3R
.
Во втором случае наибольший периметр имеет треугольник с наибольшей высотой, т. е. с высотой, равной радиусу полукруга. Значит, наибольший периметр равен
3R\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=2R\sqrt{3}\gt3R
и достигается, когда вершина треугольника совпадает с серединой дуги полуокружности.