6666. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке N
. Окружности, описанные вокруг треугольников ANB
и CND
, повторно пересекают сторону BC
в точках C_{1}
и B_{1}
соответственно, а сторону AD
— в точках D_{1}
и A_{1}
соответственно. Докажите, что четырёхугольник A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
вписан в окружность с центром N
.
Решение. Рассмотрим вписанный пятиугольник A_{1}NB_{1}CD
. Поскольку
\angle NDA_{1}=\angle BDA=\angle BCA=\angle B_{1}CN,
хорды A_{1}N
и B_{1}N
равны, так как равны углы, опирающиеся на эти хорды. Аналогично NC_{1}=ND_{1}
. Из вписанных четырёхугольников CDA_{1}N
и ABND_{1}
получаем, что
\angle NA_{1}A=\angle ACD=\angle ABD=\angle A_{1}D_{1}N,
Значит, треугольник A_{1}ND_{1}
— равнобедренный. Следовательно,
NC_{1}=ND_{1}=NA_{1}=NB_{1}.
Что и требовалось доказать.