6669. Биссектрисы двух углов вписанного четырёхугольника параллельны. Докажите, что сумма квадратов двух сторон четырёхугольника равна сумме квадратов двух других сторон.
Решение. Прежде всего заметим, что биссектрисы смежных углов четырёхугольника не могут быть параллельны, так как сумма этих углов меньше, чем 360^{\circ}
.
Если же параллельны, например, биссектрисы углов A
и C
четырёхугольника ABCD
, а K
— точка пересечения биссектрисы угла при вершине C
с прямой AB
, то \angle BKC=\frac{1}{2}\angle A
. Значит,
180^{\circ}=\angle BKC+\angle ABC+\angle BCK=\frac{1}{2}\angle A+\angle B+\frac{1}{2}\angle C=
=\frac{1}{2}(\angle A+\angle C)+\angle B=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}+\angle B=90^{\circ}+\angle B,
откуда находим, что \angle B=90^{\circ}
. Тогда
\angle D=180^{\circ}-\angle B=90^{\circ}.
Следовательно,
AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}.