6670. Дана окружность и точка O
на ней. Вторая окружность с центром O
пересекает первую в точках P
и Q
. Точка C
лежит на первой окружности, а прямые CP
и CQ
вторично пересекают вторую окружность в точках A
и B
соответственно. Докажите, что AB=PQ
.
Решение. Если точка C
совпадает с O
, утверждение задачи очевидно, а если C
— точка, диаметрально противоположная O
, то \angle CPO=\angle CQO=90^{\circ}
, т. е. прямые CP
и CQ
касаются второй окружности, и точки A
и B
совпадают с P
и Q
.
В остальных случаях так как OP=OQ
, то CO
— биссектриса угла ACB
. При симметрии относительно прямой CO
прямые CP
и CQ
переходят друг в друга, а вторая окружность переходит в себя. Следовательно, точка P
переходит в либо в Q
, либо в B
. Но CP\ne CQ
, так что первый случай невозможен. Значит, CP=CB
. Аналогично CQ=CA
. Треугольники CAB
и CQP
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB=PQ
.
