6676. Через вершину B
треугольника ABC
проведена прямая, перпендикулярная медиане BM
. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из A
и C
(или их продолжения), в точках K
и N
. Точки O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников ABK
и CBN
соответственно. Докажите, что O_{1}M=O_{2}M
.
Решение. Достроим данный треугольник до параллелограмма ABCD
. Поскольку AK\perp BC
и AD\parallel BC
, то AK\perp AD
. Из точек B
и A
отрезок KD
виден под прямым углом, значит, точки A
, B
, K
, D
лежат на одной окружности, а так как M
— середина хорды BD
, то O_{1}M\perp BD
. Аналогично O_{2}M\perp BD
.
Кроме того, так как треугольники ABD
и BCD
равны, то равны и расстояния от центров описанных около них окружностей до середины M
их общей стороны BD
.