6679. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC
. На диагонали BD
выбрана такая точка K
, что \angle AKB+\angle BKC=\angle A+\angle C
. Докажите, что AK\cdot CD=KC\cdot AD
.
Решение. Возьмём на BD
такую точку L
, что \angle ALB=\angle A
. Треугольники ABL
и DBA
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AB}{BD}=\frac{BL}{AB}~\Rightarrow~BL\cdot BD=AB^{2}=BC^{2}~\Rightarrow~\frac{BC}{BD}=\frac{BL}{BC}.
Значит, треугольники CBL
и DBC
тоже подобны, поэтому \angle BLC=\angle C
, и точка L
совпадает с K
. Тогда из указанных подобий получаем, что
\frac{BK}{AB}=\frac{AK}{AD},~\frac{BK}{AB}=\frac{BK}{BC}=\frac{KC}{CD},
Значит, \frac{AK}{AD}=\frac{KC}{CD}
. Следовательно, AK\cdot CD=KC\cdot AD
.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2010, VI, заочный тур, № 13, 9 класс