6680. На стороне AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
нашлась такая точка M
, что CM
и BM
параллельны AB
и CD
соответственно. Докажите, что S_{ABCD}\geqslant3S_{\triangle BCM}
.
Решение. Так как \angle ABM=\angle BMC=\angle MCD
, то
\frac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle BMC}}=\frac{AB}{MC}~\mbox{и}~\frac{S_{\triangle BMC}}{S_{\triangle CMD}}=\frac{BM}{CD}.
Но треугольники ABM
и MCD
подобны, так что эти отношения равны. Значит, S^{2}_{\triangle BMC}=S_{\triangle ABM}\cdot S_{\triangle MCD}
. Применив неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим, что
S_{ABCD}=S_{\triangle BCM}+S_{\triangle ABM}+S_{\triangle MCD}~\geqslant~
\geqslant~S_{\triangle BCM}+2\sqrt{S_{\triangle ABM}\cdot S_{\triangle MCD}}=
=S_{\triangle BCM}+2S_{\triangle BCM}=3S_{\triangle BCM}.