6685. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
лучи AB
и DC
пересекаются в точке K
. На биссектрисе угла AKD
нашлась такая точка P
, что прямые BP
и CP
делят пополам отрезки AC
и BD
соответственно. Докажите, что AB=CD
.
Решение. Поскольку прямые BP
и CP
содержат медианы треугольников ABC
и BCD
, точки A
и C
равноудалены от прямой BP
, а B
и D
— от прямой CP
. Это значит, что
S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PCD}.
С другой стороны, высоты треугольников PAB
и PCD
, проведённые из точки P
, равны, так как точка P
лежит на биссектрисе угла AKD
. Значит, равны основания AB
и CD
этих треугольников. Что и требовалось доказать.