6687. В треугольнике ABC
проведены высота AH
, биссектриса BL
и медиана CM
. Известно, что в треугольнике HLM
высота, проведённая из вершины H
, лежит на прямой AH
, а биссектриса, проведённая из вершины B
, лежит на прямой BL
. Докажите, что медиана, проведённая из вершины M
, лежит на прямой CM
.
Решение. Так как AH\perp LM
, то LM\parallel BC
, т. е. LM
— средняя линия треугольника. Значит, BL
— биссектриса и медиана треугольника ABC
, т. е. AB=BC
.
Поскольку BL
является биссектрисой углов ABC
и HLM
, точки H
и M
симметричны относительно прямой BL
, значит,
\frac{1}{2}AB=BM=BH=\frac{1}{2}BC,
и высота AH
является медианой треугольника ABC
. Таким образом, AC=AB=BC
, т. е. треугольник ABC
— равносторонний. Следовательно, CM
делит его среднюю линию HL
пополам. Что и требовалось доказать.