6693. Каждая из двух равных окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
проходит через центр другой. Треугольник ABC
вписан в окружность \omega_{1}
, а прямые AC
, BC
касаются окружности \omega_{2}
. Докажите, что \cos\angle A+\cos\angle B=1
.
Решение. Пусть R
— радиус окружностей, O
— центр \omega_{2}
, P
— точка на \omega_{1}
, диаметрально противоположная O
, а A'
— точка касания прямой AC
и окружности \omega_{2}
. Поскольку CO
— биссектриса угла ACB
, точка O
— середина дуги AOC
окружности \omega_{1}
, поэтому PO
— биссектриса угла AOP
. Окружность \omega_{1}
симметрична относительно диаметра PO
, лучи PA
и PB
также симметричны относительно PO
. Значит, точки A
и B
симметричны относительно PO
.
Заменим сумму косинусов произведением:
\cos\angle A+\cos\angle B=2\cos\frac{\angle A+\angle B}{2}\cos\frac{\angle A-\angle B}{2}=
=2\sin\frac{\angle C}{2}\cos\frac{\angle A-\angle B}{2}.
Вписанные углы COP
и CAP
опираются на одну и ту же дугу. Отсюда и из отмеченной выше симметрии следует, что
\angle COP=\angle CAP=\frac{|\angle A-\angle PAB|}{2}=\frac{|\angle A-\angle B|}{2}.
Из прямоугольного треугольника COP
получаем, что
\cos\frac{|\angle A-\angle B|}{2}=\cos\angle COP=\frac{CO}{OP},
Наконец, поскольку
\frac{\angle C}{2}=\angle OCA=\angle OCA',
из прямоугольного треугольника COA'
получаем, что
\sin\frac{\angle C}{2}=\sin\angle OCA'=\frac{OA'}{CO}=\frac{R}{CO}=\frac{OP}{2CO}.
Следовательно,
\cos\angle A+\cos\angle B=2\sin\frac{\angle C}{2}\cos\frac{\angle A-\angle B}{2}=2\cdot\frac{OP}{2CO}\cdot\frac{CO}{OP}=1.
Что и требовалось доказать.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2010, VI, финальный тур, № 2, 10 класс