6695. Через каждую вершину неравнобедренного треугольника ABO
проведён отрезок, разбивающий его на два треугольника с равными периметрами. Верно ли, что все эти отрезки имеют разные длины?
Ответ. Верно.
Решение. Предположим, например, что отрезки AA'
и BB'
равны. Пусть полупериметр треугольника ABO
равен p
. Тогда из равенства периметров треугольников AA'B
и AA'O
следует, что
BA'+AA'+AB=OA'+AA'+OA.
Значит,
BA'+AB=OA'+OA=p,
откуда получаем, что
BA'=p-AB=\frac{AB+BO+OA}{2}-AB.
Аналогично
AB'=\frac{AB+BO+OA}{2}-AB,
и значит, треугольники ABA'
и BAB'
равны по трём сторонам. Но тогда \angle OAB=\angle OBA
, что противоречит неравнобедренности треугольника ABO
.
Автор: Френкин Б. Р.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2009, V, заочный тур, № 2, 8 класс