6701. На сторонах треугольника ABC
внешним образом построены правильные треугольники ABC_{1}
, AB_{1}C
и A_{1}BC
. Пусть P
и Q
— середины отрезков A_{1}B_{1}
и A_{1}C_{1}
. Докажите, что треугольник APQ
правильный.
Указание. Рассмотрите поворот на 60^{\circ}
относительно точки A
, переводящий точку C
в точку B_{1}
.
Решение. При повороте на 60^{\circ}
относительно точки A
, переводящем точку C
в точку B_{1}
, равносторонний треугольник A_{1}BC
переходит в равносторонний треугольник A_{2}MB_{1}
. Поэтому
B_{1}A_{2}=MA_{2}=BA_{1},~B_{1}A_{2}\parallel BA_{1}.
Следовательно, BA_{1}A_{2}B_{1}
— параллелограмм. Поэтому середина P
его диагонали B_{1}A_{1}
является серединой диагонали BA_{2}
.
При рассматриваемом повороте отрезок C_{1}A_{1}
переходит в отрезок BA_{2}
. Поэтому середина Q
отрезка C_{1}A_{1}
переходит в середину P
отрезка BA_{2}
. Следовательно, треугольник APQ
— равносторонний.