6705. Пусть M
и N
— середины сторон CD
и DE
правильного шестиугольника ABCDEF
, P
— точка пересечения отрезков AM
и BN
. Докажите, что S_{\triangle ABP}=S_{MDNP}
.
Указание. При повороте на угол 60^{\circ}
вокруг центра данного шестиугольника, переводящем вершину A
в вершину B
, пятиугольник AFEDM
переходит в пятиугольник BAFEN
.
Решение. При повороте на угол 60^{\circ}
вокруг центра данного шестиугольника, переводящем вершину A
в вершину B
, вершина C
переходит в вершину D
, а вершина D
— в вершину E
. Поэтому середина M
стороны CD
переходит в середину N
стороны ED
. Следовательно, отрезок AM
переходит в отрезок BN
, а пятиугольник AFEDM
— в пятиугольник BAFEN
. Площади этих пятиугольников равны, а пятиугольник AFENP
— их общая часть. Следовательно, S_{\triangle APB}=S_{MDNP}
.