6709. С помощью циркуля и линейки впишите в данный параллелограмм прямоугольник с заданным углом между диагоналями.
Указание. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелограмма, и рассмотрите поворот на данный угол вокруг этой точки.
Решение. Предположим, что вершины M
, N
, K
и L
прямоугольника MNKL
расположены соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
данного параллелограмма ABCD
.
Поскольку точка O
пересечения диагоналей прямоугольника делит каждую из диагоналей MK
и NL
пополам, то эта точка принадлежит пересечению средних линий параллелограмма ABCD
, т. е. совпадает с точкой пересечения диагоналей данного параллелограмма.
Пусть угол NOK
равен данному углу \alpha
. Тогда при повороте на угол \alpha
вокруг точки O
, переводящем точку K
в точку N
, прямая CD
переходит в некоторую прямую, пересекающую отрезок BC
в точке N
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ l
прямой CD
при повороте на данный угол относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма. Если прямая l
пересекает сторону BC
, то точка пересечения есть вершина искомого прямоугольника.