6710. Теорема о композиции поворотов. Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^{\circ}
, является поворотом.
В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота?
Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^{\circ}
.
Указание. Пусть A
и B
— центры данных поворотов. Представьте каждый из данных поворотов в виде композиции осевых симметрий относительно пересекающихся прямых, одна из которых — прямая AB
.
Решение. Пусть A
и B
— центры данных поворотов \mathbf{R}^{\alpha}_{A}
и \mathbf{R}^{\beta}_{B}
на углы \alpha
и \beta
соответственно. Если A
и B
совпадают, то утверждение задачи очевидно.
Пусть A
и B
различны. Обозначим через l
прямую AB
. Через точки A
и B
проведём прямые a
и b
соответственно, образующие с прямой l
углы \frac{\alpha}{2}
и \frac{\beta}{2}
. В первом случае считаем угол от a
к l
\left(\angle(a,l)=\frac{\alpha}{2}\right)
, во втором — от l
к b
\left(\angle(l,b)=\frac{\beta}{2}\right)
.
Представим первый поворот в виде композиции симметрий относительно прямых a
и l
, т. е. \mathbf{R}^{\alpha}_{A}=\mathbf{S}_{l}\circ\mathbf{S}_{a}
. Аналогично \mathbf{R}^{\beta}_{B}=\mathbf{S}_{b}\circ\mathbf{S}_{l}
. Тогда композицию данных поворотов можно записать в виде
\mathbf{R}^{\beta}_{B}\circ\mathbf{R}^{\alpha}_{A}=(\mathbf{S}_{b}\circ\mathbf{S}_{l})\circ(\mathbf{S}_{l}\circ S_{a})=\mathbf{S}_{b}\circ(\mathbf{S}_{l}\circ\mathbf{S}_{l})\circ\mathbf{S}_{a}=\mathbf{S}_{b}\circ\mathbf{S}_{a}.
Известно, что композиция симметрий относительно пересекающихся прямых есть поворот вокруг их точки пересечения на угол, равный удвоенному углу между этими прямыми. Следовательно, если прямые a
и b
не параллельны, то \mathbf{S}_{b}\circ\mathbf{S}_{a}
есть поворот вокруг точки C
пересечения прямых a
и b
на угол, равный удвоенному углу между прямыми a
и b
(от a
к b
), т. е.
2\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\alpha+\beta.
Поскольку композиция симметрий относительно двух параллельных прямых есть параллельный перенос, то в случае, когда прямые a
и b
окажутся параллельными (т. е. когда \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}
кратно 180^{\circ}
), искомая композиция есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном a
и b
, переводящий прямую a
в прямую b
.