6715. С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.
Указание. Докажите, что центры квадрата и параллелограмма совпадают. Примените поворот на угол 90^{\circ}
.
Решение. Пусть вершины K
, L
, M
и N
квадрата KLMN
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
параллелограмма ABCD
(вершины перечислены по часовой стрелке). Известно, что в таком случае центры квадрата и параллелограмма совпадают. Пусть O
— их общий центр. При повороте на угол 90^{\circ}
вокруг точки O
квадрат KLMN
переходит в себя. Вершина N
, лежащая на стороне AD
параллелограмма, переходит в вершину M
, лежащую на стороне CD
. При этом прямая AD
переходит в перпендикулярную ей прямую, проходящую через точку M
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Повернём на 90^{\circ}
прямую AD
вокруг центра O
параллелограмма. Получим прямую, перпендикулярную AD
. Если эта прямая пересекает сторону CD
в точке M
, то M
— вершина искомого квадрата. Тогда прямая MO
пересекает сторону AB
в противоположной вершине K
искомого квадрата. Прямая, проходящая через точку O
перпендикулярно KM
, пересекает противоположные стороны AD
и BC
данного параллелограмма в вершинах N
и L
искомого квадрата.
Если образ прямой AD
при рассматриваемом повороте не пересекает отрезок CD
, то задача не имеет решений.