6719. Дан четырёхугольник ABCD
. Оказалось, что окружность, описанная около треугольника ABC
, касается стороны CD
, а окружность, описанная около треугольника ACD
, касается стороны AB
. Докажите, что диагональ AC
не больше, чем расстояние между серединами сторон AB
и CD
.
Решение. Пусть L
— точка на продолжении стороны AB
за вершину A
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle LAD=\angle ACD=\angle ABC,
значит, AD\parallel BC
. Тогда, отрезок MN
, соединяющий середины AB
и CD
, — средняя линия трапеции (или параллелограмма) ABCD
, поэтому MN=\frac{AD+BC}{2}
. Кроме того, так как \angle ACD=\angle ABC
и \angle BAC=\angle CDA
, то треугольники ABC
и DCA
подобны. Значит, \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}
, откуда AC^{2}=AD\cdot BC
. Следовательно,
AC=\sqrt{AD\cdot BC}\leqslant\frac{AD+BC}{2}=MN.