6727. Из вершины B
треугольника ABC
опущен перпендикуляр BM
на биссектрису угла C
. Пусть K
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
. Найдите угол MKB
, если известно, что \angle BAC=\alpha
.
Ответ. 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда четырёхугольник BMIK
— вписанный, так как
\angle BMI=\angle BKI=90^{\circ}.
Значит,
\angle MKB=\angle MIB=\angle IBC+\angle ICB=\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Автор: Протасов В. Ю.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2009, V, финальный тур, № 5, 8 класс
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2009, 8 класс