6730. На плоскости проведены две прямые, пересекающиеся под углом 40^{\circ}
. Окружность с центром в точке O
касается этих прямых. Рассмотрим прямую, отличную от заданных, касающуюся той же окружности и пересекающую данные прямые в точках B
и C
. Чему может равняться угол BOC
?
Ответ. 20^{\circ}
, 70^{\circ}
, 110^{\circ}
, 160^{\circ}
.
Указание. См. задачу 4770.
Решение. Пусть данные прямые пересекаются в точке A
, а точки B
и C
расположены так, что \angle BAC=40^{\circ}
. Тогда O
— либо центр вписанной окружности треугольника ABC
, либо центр вневписанной окружности этого треугольника, касающейся стороны BC
. В первом случае
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+20^{\circ}=110^{\circ}.
Во втором —
\angle BOC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}
(см. задачу 4770).
Пусть точки B
и C
расположены так, что \angle BAC=180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}
. Тогда аналогично получим, что
\angle BOC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+70^{\circ}=160^{\circ}
или
\angle BOC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1995-1996, II, 1-й тур, 9 класс