6734. Докажите, что из всех треугольников с заданными периметром и стороной наибольшую высоту, опущенную на эту сторону, имеет равнобедренный.
Решение. Пусть 2p
— данный периметр, a
— данная сторона, h
— высота, опущенная на эту сторону, S
— площадь треугольника, x
и y
— две другие стороны треугольника. Тогда
x+y=2p-a,~y=2p-a-x,~p-y=p-(2p-a-x)=a-p+x,
h=\frac{2S}{a}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-x)(p-y)}}{a}=
=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-x)(a-p-x)}}{a}=\frac{2\sqrt{p(p-a)}}{a}\cdot\sqrt{(p-x)(a-p+x)}\leqslant
\leqslant\frac{2\sqrt{p(p-a)}}{a}\cdot\frac{(p-x)+(a-p+x)}{2}=\frac{\sqrt{p(p-a)}}{a}\cdot a=\sqrt{p(p-a)},
причём равенство достигается, если p-x=a-p+x
, т. е. при x=p-\frac{a}{2}
. Но тогда
y=2p-a-x=p-\frac{a}{2}=x.
Следовательно, треугольник равнобедренный.