6737. Дана прямоугольная трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
. Окружность с центром O
, построенная на большей стороне CD
как на диаметре, касается боковой стороны AB
в точке P
и второй раз пересекает основание AD
в точке H
.
а) Докажите, что \angle CDP=\angle HCP
.
б) Найдите отношение AH:DH
, если \angle ADC=60^{\circ}
.
Ответ. 1:2
.
Решение. а) Точка H
лежит на окружности с диаметром CD
, поэтому CH\perp AD
. Прямые CH
и AB
параллельны, так как они обе перпендикулярны AD
. Значит, \angle HCP=\angle CPB
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle CDP=\angle CPB=\angle HCP.
б) Обозначим через R
радиус окружности. Тогда CD=2R
и OP=R
. Из прямоугольного треугольника CDH
находим, что
DH=\frac{1}{2}CD=R.
Пусть M
— точка пересечения CH
и OP
. Тогда OM
— средняя линия треугольника CDH
. Значит,
OM=\frac{1}{2}DH=\frac{R}{2},~AH=PM=OP-OM=R-\frac{R}{2}=\frac{R}{2}.
Следовательно,
\frac{AH}{DH}=\frac{\frac{R}{2}}{R}=\frac{1}{2}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4, с. 176