6744. В выпуклом четырёхугольнике с перпендикулярными диагоналями равны два противолежащих угла. Докажите, что в него можно вписать окружность.
Решение. Пусть в четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle B=\angle D
, O
— точка пересечения диагоналей. Предположим, что OB\gt OD
. Тогда точка D'
, симметричная D
относительно прямой AC
, лежит на отрезке OB
. Следовательно, по свойству внешнего угла треугольника \angle AD'O\gt\angle ABO
, \angle CD'O\gt\angle CBO
. Но тогда \angle D=\angle AD'C\gt\angle B
— противоречие. Таким образом, OB=OD
, т. е. диагональ AC
является осью симметрии четырёхугольника. Значит, биссектрисы углов B
и D
пересекают AC
в одной и той же точке, которая равноудалена от всех сторон четырёхугольника.
Автор: Шноль Д. Э.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2008, IV, финальный тур, № 3, 8 класс