6760. Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины прямого угла трапеции до центра второй окружности, если известно, что точка касания первой окружности делит большую боковую сторону трапеции на отрезки, равные 2 и 8.
Ответ. 2\sqrt{53}
.
Решение. а) Пусть O
— центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
, O_{1}
— центр окружности, касающейся большей боковой стороны CD
трапеции и продолжений оснований. Тогда \angle COD=90^{\circ}
как угол между биссектрисами внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми AD
, BC
и секущей CD
, а \angle OCO_{1}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов. Аналогично остальные углы четырёхугольника ACO_{1}D
— прямые. Значит, CODO_{1}
— прямоугольник. Его диагональ OO_{1}
равна диагонали CD
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть окружность радиуса r
, вписанная в данную трапецию, касается стороны CD
в точке M
, причём CM=2
и DM=8
, основания AD
— в точке P
, а вторая окружность касается прямой AD
в точке Q
.
Радиус OM
— высота прямоугольного треугольника COD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
r=OM=\sqrt{CM\cdot DM}=\sqrt{2\cdot8}=4,
AQ=AP+PQ=r+OO_{1}=r+CD=4+10=14.
Следовательно,
AO_{1}=\sqrt{AQ^{2}+O_{1}Q^{2}}=\sqrt{AQ^{2}+r^{2}}=\sqrt{14^{2}+4^{2}}=2\sqrt{53}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2015
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6, с. 173