6763. В трапецию ABCD
с основаниями AD\gt BC
можно вписать окружность. Биссектрисы углов при вершинах B
и C
пересекают основание AD
в точках M
и N
соответственно.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCN
равновелик треугольнику ABM
.
б) Точка касания окружности, вписанной в трапецию ABCD
, делит её основание BC
в отношении 2:1
, считая от вершины B
, угол \angle ABC=90^{\circ}
. В каком отношении прямая CN
делит площадь трапеции?
Ответ. 5:4
.
Решение. а) Центр O
окружности, вписанной в трапецию ABCD
, — точка пересечения биссектрис всех углов трапеции. Из равенства \angle CND=\angle BCN=\angle DCN
следует, что треугольник CDN
равнобедренный. Его биссектриса DO
является медианой, поэтому OC=ON
. Треугольники BOC
и MON
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, следовательно,
S_{ABCN}=S_{ABON}+S_{\triangle BOC}=S_{ABON}+S_{\triangle MON}=S_{\triangle ABM}.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть окружность, вписанная в трапецию ABCD
, касается основания BC
в точке K
, боковой стороны CD
— в точке L
, а боковой стороны AB
— в точке P
. Положим CK=x
, BK=2x
. Тогда CL=CK=x
, OL=OP=BK=2x
.
Поскольку биссектриса DO
равнобедренного треугольника CDN
является его высотой, треугольник COD
прямоугольный, а OL
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Тогда
DL=\frac{OL^{2}}{CL}=\frac{4x^{2}}{x}=4x,
значит,
DN=CD=CL+DL=x+4x=5x,
S_{\triangle DCN}=\frac{1}{2}DN\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot5x\cdot4x=10x^{2},
а так как OP
— средняя линия трапеции ABCN
и OP=2x
, то
S_{ABCN}=OP\cdot AB=2x\cdot4x=8x^{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle DCN}}{S_{ABCN}}=\frac{10x^{2}}{8x^{2}}=\frac{5}{4}.