6764. а) В равносторонний треугольник ABC
вписана окружность. В эту окружность произвольным образом вписан равносторонний треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что площадь треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
в четыре раза меньше площади треугольника ABC
.
б) В равнобедренный треугольник ABC
с углом при основании, равным \arccos\frac{1}{4}
, вписана окружность. В эту окружность произвольным образом вписан равнобедренный треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
с тем же углом при основании. Найдите отношение площадей треугольников A_{1}B_{1}C_{1}
и ABC
.
Ответ. 9:64
.
Решение. а) Равносторонний треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен равностороннему треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{1}{2}
, так как радиус окружности, описанной около треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, вдвое меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC
. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е. \frac{1}{4}
.
б) Пусть O
— центр вписанной окружности радиуса r
треугольника ABC
, R
— центр его описанной окружности, AB=AC
, AH
— высота, \angle ABC=\alpha
. Обозначим BH=CH=x
. Тогда
AB=\frac{BH}{\cos\alpha}=\frac{x}{\frac{1}{4}}=4x,
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{16x^{2}-x^{2}}=x\sqrt{15},
\sin\alpha=\frac{AH}{AB}=\frac{x\sqrt{15}}{4x}=\frac{\sqrt{15}}{4}.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{OH}{OA}=\frac{BH}{AB}=\frac{x}{4x}=\frac{1}{4},
значит,
r=OH=\frac{AH}{5}=\frac{x\sqrt{15}}{5}.
По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\alpha}=\frac{4x}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{8x}{\sqrt{15}}.
Треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен отношению радиусов их описанных окружностей, т. е.
k=\frac{r}{R}=\frac{\frac{x\sqrt{15}}{5}}{\frac{8x}{\sqrt{15}}}=\frac{3}{8}.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, следовательно,
\frac{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=k^{2}=\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}.