6766. Прямые, проходящие через точку O
, расположенную вне окружности, касаются окружности в точках P
и Q
; A
, B
и C
— основания перпендикуляров, опущенных из точки M
, лежащей на окружности, на прямые OP
, OQ
и PQ
соответственно.
а) Докажите, что \angle CBM=\angle APM
.
б) Найдите AM
, если MC=4
и MB=8
.
Ответ. 2.
Решение. а) Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle APM=\angle PQM
.
Из точек B
и C
отрезок MQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MQ
. Вписанные в эту окружность углы CQM
и CBM
опираются на одну и ту же дугу, следовательно,
\angle CBM=\angle CQM=\angle PQM=\angle APM.
Что и требовалось доказать.
б) Из точек A
и C
отрезок MP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MP
. Вписанные в эту окружность углы ACM
и APM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACM=\angle APM=\angle CBM.
Аналогично \angle BCM=\angle CAM
. Значит, треугольники ACM
и CBM
подобны по двум углам, поэтому \frac{AM}{CM}=\frac{CM}{BM}
. Следовательно,
AM=\frac{CM^{2}}{BM}=\frac{4^{2}}{8}=2.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014