6770. Отрезок AB
делит квадрат на две части, в каждую из которых можно вписать окружность. Радиусы этих окружностей равны r_{1}
и r_{2}
, причём r_{1}\gt r_{2}
. Найдите AB
.
Ответ. r_{1}-r_{2}
.
Решение. Если отрезок AB
является диагональю квадрата, то он делит квадрат на два равных треугольника, поэтому r_{1}=r_{2}
, что противоречит условию задачи. Если же одна из частей является четырёхугольником, то сумма его стороны AB
с противоположной больше суммы двух других сторон, и вписать в него окружность нельзя. Следовательно, AB
делит квадрат на треугольник и пятиугольник.
Окружности с радиусами r_{1}
и r_{2}
являются вневписанной и вписанной окружностями прямоугольного треугольника ABC
. Значит (см. задачу 1994),
r_{1}=\frac{AC+BC+AB}{2},~r_{2}=\frac{AC+AC-AB}{2}.
Следовательно, AB=r_{1}-r_{2}
.
Автор: Блинков А. Д.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2006, II, заочный тур, № 8