6777. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом C
известны стороны: AC=12
, BC=5
. Точка P
лежит на катете BC
. Диаметр CP
первой окружности равен 1 и расположен на катете BC
. Вторая окружность с центром O
касается катета AC
, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности. Прямая AO
пересекает катет BC
в точке M
.
а) Докажите, что MP:MB=7:13
.
б) Найдите радиус второй окружности.
Ответ. 2.
Решение. а) По теореме Пифагора находим, что AB=13
. Пусть M
— точка пересечения прямой AO
с катетом BC
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AM
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда \frac{CM}{MB}=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}
, значит,
CM=BC\cdot\frac{AC}{AC+AB}=5\cdot\frac{12}{25}=\frac{12}{5},
Тогда
BM=BC-CM=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5},~MP=MC-CP=\frac{12}{5}-1=\frac{7}{5}.
Следовательно, прямая \frac{MP}{MB}=\frac{7}{13}
.
б) Пусть x
— радиус второй окружности. Поскольку первая окружность проходит через вершину C
прямого угла треугольника ABC
, а её центр лежит на катете BC
, прямая AC
касается этой окружности в точке C
, а CD
— отрезок общей внешней касательной первой и второй окружностей. Значит, CD=2\sqrt{\frac{1}{2}\cdot x}=\sqrt{2x}
(см. задачу 365), а AD=AC-CD=12-\sqrt{2x}
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому \angle DAO=\frac{\alpha}{2}
. Из прямоугольного треугольника ABC
находим, что \sin\alpha=\frac{5}{13}
, \cos\alpha=\frac{12}{13}
. Тогда
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{5}{13}}{1+\frac{12}{13}}=\frac{1}{5}.
Из прямоугольного треугольника AOD
получаем, что OD=AD\tg\frac{\alpha}{2}
, или
x=(12-\sqrt{2x})\cdot\frac{1}{5}.
Отсюда \sqrt{x}=\sqrt{2}
. Следовательно, x=2
.