6781. Внутри параллелограмма ABCD
отметили точку E
так, что CD=CE
. Докажите, что прямая DE
перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков AE
и BC
.
Решение. Пусть F
и G
— середины отрезков AE
и BC
соответственно. Высота CH
равнобедренного треугольника CDE
является его медианой, поэтому H
— середина отрезка DE
. Тогда FH
—средняя линия треугольника AED
, значит,
FH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=GC
и FH\parallel AD\parallel CG
.
Противоположные стороны FH
и GC
четырёхугольника CGFH
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда FG\parallel CH
, а так как CH\perp DE
, то DE\perp FG
. Что и требовалось доказать.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2015, LXXVIII, 8 класс
Источник: Турнир городов. — 2014-2015, XXXVI, весенний тур, сложный вариант, 8-9 классы