6787. В параллелограмме ABCD
из вершины тупого угла B
на стороны параллелограмма опущены высоты BM
и BN
, а из вершины D
— высоты DP
и DQ
. Докажите, что точки M
, N
, P
, Q
являются вершинами прямоугольника.
Решение. Пусть точка M
лежит на стороне AD
, а точка P
— на стороне BC
. Диагональ MP
прямоугольника BMDQ
равна его диагонали BD
, проходит через её середину O
и делится ею пополам. Диагональ NQ
прямоугольника BQDN
также равна его диагонали BD
, проходит через точку O
и делится ею пополам. Значит, диагонали MP
и NQ
четырёхугольника MNPQ
равны, пересекаются в точке O
и делятся ею пополам. Следовательно, MNPQ
— прямоугольник.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, окружной этап, 8 класс
Источник: Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве / Сост. А. Д. Блинков. — М.: МЦНМО, 2015. — № 8.3, с. 82