6796. Рассмотрим множество точек A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
с приписанными им массами m_{1}
, m_{2}
, …, m_{n}
, т. е. множество пар (A_{i},m_{i})
(i=1
, 2, …, n
), или систему материальных точек.
Центром масс (или барицентром) этой системы материальных точек называется точка O
, для которой выполняется равенство
m_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}.
а) Докажите, что для любой системы материальных точек центр масс существует, и притом только один.
б) Докажите, что если X
— произвольная точка, а O
— центр масс системы материальных точек A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
с массами m_{1}
, m_{2}
, …, m_{n}
, то
\overrightarrow{XO}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}+\dots+m_{n}}(m_{1}\overrightarrow{XA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{XA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{XA_{n}}).
Решение. Пусть X
и O
— произвольные точки. Тогда
m_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{OA_{n}}=
=m_{1}(\overrightarrow{XA_{1}}-\overrightarrow{XO})+m_{2}(\overrightarrow{XA_{2}}-\overrightarrow{XO})+\dots+m_{n}(\overrightarrow{XA_{n}}-\overrightarrow{XO})=
=(m_{1}+m_{2}+\dots+m_{n})\overrightarrow{OX}+m_{1}\overrightarrow{XA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{XA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{XA_{n}}.
Из этого равенства следует, что если O
— центр масс системы, т. е.
m_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0},
то
\overrightarrow{XO}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}+\dots+m_{n}}(m_{1}\overrightarrow{XA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{XA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{XA_{n}}).
Обратно, если
\overrightarrow{XO}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}+\dots+m_{n}}(m_{1}\overrightarrow{XA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{XA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{XA_{n}}),
то
m_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0},
т. е. O
— центр масс системы.
Из равенства
\overrightarrow{XO}=\frac{1}{m_{1}+m_{2}+\dots+m_{n}}(m_{1}\overrightarrow{XA_{1}}+m_{2}\overrightarrow{XA_{2}}+\dots+m_{n}\overrightarrow{XA_{n}})
следует, что положение точки O
определяется однозначно.
Примечание. Положительность чисел m_{1}
, m_{2}
, …, m_{n}
не использовалась (важно лишь то, что их сумма отлична от нуля). Иногда удобно рассматривать системы, в которых часть масс отрицательна.
Рассмотрим треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
. Если точка O
— центр масс системы вершин этого треугольника с массами m_{1}
, m_{2}
, m_{3}
, то числа m_{1}
, m_{2}
, m_{3}
называются барицентрическими координатами точки X
относительно треугольника A_{1}A_{2}A_{3}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 14.1, с. 325