6801. Докажите, что расстояния от точки L
, лежащей внутри треугольника, до его сторон соответственно пропорциональны этим сторонам тогда и только, тогда, когда L
— точка Лемуана этого треугольника.
Решение. Необходимость. Пусть L
— точка Лемуана треугольника ABC
, точки D
, E
и F
— её проекции на стороны BC=a
, CA=b
и AB=c
соответственно, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, AA_{1}
— биссектриса угла BAC
, а D'
, E'
и F'
— проекции точки G
на прямые BC
, CA
и AB
соответственно.
Точка L
симметрична точке G
относительно прямой AA'
, поэтому прямоугольные треугольники AE'G
и AFL
симметричны относительно прямой AA_{1}
, значит, они равны. Значит, GE'=LF
. Аналогично GF'=LE
.
Точка G
лежит на медиане AA_{1}
, поэтому треугольники AGC
и AGB
равновелики. Тогда
b\cdot LF=b\cdot GE'=c\cdot GF'=c\cdot LE.
Значит, \frac{LF}{c}=\frac{LE}{b}
. Аналогично, \frac{LF}{c}=\frac{LD}{a}
. Следовательно,
\frac{LD}{a}=\frac{LE}{b}=\frac{LF}{c}.
Что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть расстояния от точки L
, лежащей внутри треугольника ABC
, до сторон стороны BC
, CA
и AB
соответственно пропорциональны эти сторонам, т. е.
\frac{LD}{a}=\frac{LE}{b}=\frac{LF}{c},
где D
, E
и F
— проекции точки L
на стороны BC=a
, CA=b
и AB=c
соответственно, G
— точка, симметричная точке L
относительно биссектрисы AA_{1}
угла BAC
.
Пусть E'
и F'
— проекции точки G
на прямые AC
и AB
соответственно. Прямоугольные треугольники AE'G
и AFL
симметричны относительно прямой AA_{1}
, значит, они равны. Тогда
\frac{LE}{b}=\frac{LF}{c}~\Rightarrow~c\cdot LE=b\cdot LF~\Rightarrow~c\cdot GF'=b\cdot GE'~\Rightarrow~S_{\triangle AGB}=S_{\triangle AGC},
поэтому равны высоты AX
и BY
треугольников AGB
и AGC
. Тогда прямая AG
проходит через середину стороны BC
. Аналогично, прямая BG
проходит через середину стороны AC
. Значит, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Следовательно, L
— точка Лемуана этого треугольника. Что и требовалось доказать.