6802. Окружность \omega_{1}
с центром O_{1}
и окружность \omega_{2}
с центром O_{2}
касаются внешним образом. Из точки O_{1}
к \omega_{2}
проведена касательная O_{1}A
, а из точки O_{2}
к \omega_{1}
проведена касательная O_{2}B
(A
и B
— точки касания).
а) Докажите, что углы O_{1}AB
и O_{1}O_{2}B
равны.
б) Найдите площадь четырёхугольника O_{1}O_{2}AB
, если известно, что точки A
и B
лежат по одну сторону от прямой O_{1}O_{2}
, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.
Ответ. \frac{2(63+8\sqrt{21})}{25}
.
Решение. а) Радиус окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \angle O_{1}AO_{2}=\angle O_{1}BO_{2}=90^{\circ}
. Из точек A
и B
отрезок O_{1}O_{2}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром O_{1}O_{2}
. Вписанные в окружность углы O_{1}AB
и O_{1}O_{2}B
опираются на одну и ту же дугу, следовательно, \angle O_{1}AB=\angle O_{1}O_{2}B
.
б) Линия центром касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому O_{1}O_{2}=2+3=5
. Из прямоугольных треугольников O_{1}AO_{2}
и O_{1}AO_{2}
находим, что
O_{1}A=\sqrt{25-9}=4,~O_{2}B=\sqrt{25-4}=21.
Обозначим \angle AO_{1}O_{2}=\alpha
, \angle BO_{2}O_{1}=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{O_{2}A}{O_{1}O_{2}}=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},
\sin\beta=\frac{O_{1}B}{O_{1}O_{2}}=\frac{2}{5},~\cos\beta=\frac{\sqrt{21}}{5}.
Пусть диагонали O_{1}A
и O_{2}B
четырёхугольника O_{1}O_{2}AB
пересекаются в точке O
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOO_{2}=\angle OO_{1}O_{2}+\angle OO_{2}O_{1}=\alpha+\beta.
Тогда
\sin\angle AOO_{2}=\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=
=\frac{3}{5}\cdot\frac{\sqrt{21}}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\sqrt{21}+8}{25}.
Площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, следовательно,
S_{O_{1}O_{2}AB}=\frac{1}{2}O_{1}A\cdot O_{2}B\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{21}\cdot\frac{3\sqrt{21}+8}{25}=\frac{2(63+8\sqrt{21})}{25}.