6804. В трапеции ABCD
диагонали пересекаются в точке E
. Окружность проходит через точки E
, C
и D
, пересекает основание AD
в точке F
и касается прямой BF
.
а) Докажите, что треугольник CDF
подобен треугольнику BFC
.
б) Найдите основание BC
, если углы AED
и BCD
равны, радиус окружности равен 17, а CD=30
.
Ответ. \frac{255}{8}
.
Решение. а) Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BFC=\angle CDF
, а так как \angle BCF=\angle CFD
как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC
, AD
и секущей CF
, то треугольники BCF
и CDF
подобны по двум углам.
б) Обозначим
\angle BCF=\angle CFD=\alpha,~\angle BFC=\angle CDF=\beta,~\angle CBF=\angle DCF=\gamma.
Вписанные углы DEF
и DCF
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle DEF=\angle DCF=\gamma
, а так как \angle AED=\angle BCD=\alpha+\gamma
, то \angle AEF=\alpha
. Кроме того, \angle CED=\angle CFD=\alpha
, значит,
\angle AEF+\angle CED+\angle DEF=2\alpha+\gamma=180^{\circ},
откуда \gamma=180^{\circ}-2\alpha
. Следовательно,
\beta=180^{\circ}-\alpha-\gamma=180^{\circ}-\alpha-(180^{\circ}-2\alpha)=\alpha,
т. е. треугольники BCF
и CDF
равнобедренные. Тогда CF=CD=30
.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника CDF
. По теореме синусов
\sin\alpha=\sin\angle CFD=\frac{CD}{2R}=\frac{30}{2\cdot17}=\frac{15}{17}.
Тогда \cos\alpha=\frac{8}{17}
. Из равнобедренного треугольника BCF
находим, что
BC=\frac{\frac{1}{2}CF}{\cos\alpha}=\frac{15}{\frac{8}{17}}=\frac{255}{8}.