6806. Точка B
лежит на отрезке AC
. Прямая, проходящая через точку A
, касается окружности с диаметром BC
в точке M
и пересекает окружность с диаметром AB
в точке K
. Продолжение отрезка MB
пересекает окружность с диаметром AB
в точке D
.
а) Докажите, что AD\parallel MC
.
б) Найдите площадь треугольника DBC
, если AK=3
и MK=12
.
Ответ. 30.
Решение. а) Точки M
и D
лежат на окружностях с диаметрами BC
и AB
соответственно, поэтому \angle BMC=\angle BDA=90^{\circ}
. Прямые AD
и MC
перпендикулярны одной и той же прямой MD
, следовательно, AD\parallel MC
.
б) Пусть O
— центр окружности с диаметром BC
. Тогда OM\perp AM
, а так как BK\perp AM
, то OM\parallel BK
. Обозначим BK=x
. Треугольник AMO
подобен треугольнику AKB
с коэффициентом 5, поэтому OB=OM=5x
.
Опустим перпендикуляр BP
из точки B
на прямую OM
. Так как четырёхугольник BKMP
— прямоугольник, то
BP=KM=12,~OP=OM-MP=OM-BK=5x-x=4x.
По теореме Пифагора OB^{2}=BP^{2}+OP^{2}
, или 25x^{2}=144+16x^{2}
. Отсюда находим, что x=4
.
Поскольку AD\parallel MC
, то
S_{\triangle DBC}=S_{\triangle MDC}-S_{\triangle MBC}=S_{\triangle MAC}-S_{\triangle MBC}=S_{\triangle ABM},
Значит, треугольники DBC
и ABM
равновелики. Следовательно,
S_{\triangle DBC}=S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}AM\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot15x=\frac{1}{2}\cdot15\cdot4=30.