6807. Параллелограмм ABCD
таков, что \angle B\lt90^{\circ}
и AB\lt BC
. Точки E
и F
выбраны на окружности \omega
, описанной около треугольника ABC
, так, что касательные к \omega
в этих точках проходят через точку D
. Оказалось, что \angle EDA=\angle FDC
. Найдите угол ABC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности \omega
. Эта окружность вписана в угол EDF
, значит, DO
— биссектриса угла EDF
. Из равенства углов EDA
и FDC
следует, что DO
— биссектриса угла ABC
, значит, при симметрии относительно прямой DO
точка C
переходит в точку C'
, лежащую на прямой AD
, а так как CD\lt AD
, то C'
лежит на отрезке AD
.
Окружность симметрична относительно прямой DO
, поэтому точка C'
лежит на \omega
. Треугольник CDC'
равнобедренный, а точки A
, B
, C
и C'
лежат на одной окружности, значит,
\angle DCC'=\angle DC'C=\angle ABC=\angle ADC.
Треугольник CDC'
равносторонний, следовательно,
\angle ABC=\angle ADC=60^{\circ}.