6811. Дан прямоугольник ABCD
. Точка M
— середина стороны AB
, точка K
— середина стороны BC
. Отрезки AK
и CM
пересекаются в точке E
. Во сколько раз площадь четырёхугольника MBKE
меньше площади четырёхугольника AECD
?
Ответ. В четыре раза.
Решение. Проведём отрезки MK
и AC
. Четырёхугольник MBKE
состоит из треугольников MBK
и MKE
, а четырёхугольник AECD
— из треугольников AEC
и ACD
. Далее можно рассуждать разными способами.
Первый способ. Треугольники MBK
и CDA
прямоугольные и катеты первого в два раза меньше катетов второго, поэтому треугольники подобны и площадь треугольника CDA
в четыре раза больше площади треугольника MBK
. Поскольку M
и K
— середины сторон AB
и BC
соответственно, MK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому MK\parallel AC
и MK=\frac{1}{2}AC
. Из параллельности прямых MK
и AC
следует подобие треугольников MKE
и CAE
, а так как коэффициент подобия равен \frac{1}{2}
, то площадь треугольника CAE
в четыре раза больше площади треугольника MKE
. Следовательно,
S_{AECD}=S_{\triangle CAE}+S_{\triangle CDA}=4S_{\triangle MKE}+4S_{\triangle MBK}=
=4(S_{\triangle MKE}+S_{\triangle MBK})=4S_{MBKE}.
Второй способ. Пусть площадь прямоугольника ABCD
равна S
. Тогда площадь треугольника ACD
равна \frac{1}{2}S
(диагональ прямоугольника делит его на два равных треугольника), а площадь треугольника MBK
равна
\frac{1}{2}MB\cdot BK=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}BC=\frac{1}{8}AB\cdot BC=\frac{1}{8}S.
Поскольку M
и K
— середины сторон AB
и BC
, то AK
и CM
— медианы треугольника ABC
, поэтому E
— точка пересечения медиан этого треугольника, а значит, расстояние от точки E
до прямой AC
равно \frac{1}{3}h
, где h
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины B
. Тогда
S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot h=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{6}S,
значит,
S_{AECD}=\frac{1}{6}S+\frac{1}{2}S=\frac{2}{3}S.
Далее, так как MK
— средняя линия треугольника ABC
, то
S_{\triangle MKE}=\frac{1}{2}MK\cdot\left(\frac{1}{2}h-\frac{1}{3}h\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}AC\right)\cdot\left(\frac{1}{6}h\right)=
=\frac{1}{12}\cdot\left(\frac{1}{2}AC\cdot h\right)=\frac{1}{12}S_{\triangle ACD}=\frac{1}{24}S.
Значит,
S_{MBKE}=\frac{1}{8}S+\frac{1}{24}S=\frac{1}{6}S.
Следовательно,
\frac{S_{AECD}}{S_{MBKE}}=\frac{\frac{2}{3}S}{\frac{1}{6}S}=4.
Третий способ. Поскольку M
и K
— середины сторон AB
и BC
, то AK
и CM
— медианы треугольника ABC
, поэтому E
— точка пересечения медиан этого треугольника. Значит, \frac{AE}{EK}=\frac{CE}{EM}=2
. Кроме того, AD\parallel BK
и CD\parallel BM
, поэтому при гомотетии с центром E
и коэффициентом -2
четырёхугольник MBKE
переходит в четырёхугольник CDAE
. Следовательно, отношение площадей этих четырёхугольников равно квадрату коэффициента гомотетии, т. е. 4.